1. 设 $g = \dfrac{A_1}{B_1} f$, 则 $B_1 g = A_1 f$,

设 $h = \dfrac{A_2}{B_2} g$, 则 $B_2 h = A_2 g$, 于是 $B_1 B_2 h = A_1 A_2 f$, 从而 $h \subseteq \dfrac{A_2 A_1}{B_2 B_1} f$.

2.1 先证 $\dfrac{1}{B_2} \cdot \dfrac{A}{B_1} f \subseteq \dfrac{A}{B_1 B_2} f$. 这由性质 1 给出.

2.2 再证 $\dfrac{1}{B_2} \cdot \dfrac{A}{B_1} f \supseteq \dfrac{A}{B_1 B_2} f$.

记 $g = \dfrac{A}{B_1 B_2} f$, 则 $B_1 B_2 g = Af$, 于是 $B_2 g \subseteq \dfrac{A}{B_1} f$, 从而 $g \subseteq \dfrac{1}{B_2} \cdot \dfrac{A}{B_1} f$.

从而得证.

3.1 先证 $C \cdot \dfrac{A}{BC} f \subseteq \dfrac{A}{B} f$.

记 $g = \dfrac{A}{BC} f$, 则 $BCg = Af$, 从而 $Cg \subseteq \dfrac{A}{B}f$.

3.2 再证 $\dfrac{A}{B} f \subseteq C \cdot \dfrac{A}{BC} f$.

记 $g = \dfrac{A}{B} f$, 则 $Bg = Af$.

设 $g = Ch$, 则 $h \subseteq \dfrac{A}{B} f$, 从而 $g \subseteq C \cdot \dfrac{A}{B} f$.

3.3 然后证 $\dfrac{A}{B} f \subseteq \dfrac{1}{C} \cdot \dfrac{AC}{B} f$.

记 $g = \dfrac{A}{B} f$, 则 $BCg = ACf$, 于是 $Cg \subseteq \dfrac{AC}{B} f$, 从而 $g \subseteq \dfrac{1}{C} \cdot \dfrac{AC}{B} f$.

3.4 最后证 $\dfrac{1}{C} \cdot \dfrac{AC}{B} f = \dfrac{AC}{BC} f$. 该式由性质 2 给出.

4. 证略.

5. 证略.